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Matrici a diagonale dominante

Si chiamano matrici a diagonale dominante in senso forte le matrici che hanno la seguente proprietà:

  $\displaystyle \hspace{5mm}\vert a_{ii}\vert>\sum^n_{j=1, \neq i} \vert a_{ij}\vert$ (3.13)

ad esempio

\begin{displaymath}\left (
\begin{array}{c c c}
-7 & 2 & 3 \\
-1 & 4 & 2 \\
1 & 2 & 9
\end{array}\right )
\end{displaymath}

Si dicono matrici a diagonale dominante in senso debole se:

  $\displaystyle \hspace{5mm}\vert a_{ii}\vert\geq\sum^n_{j=1, \neq i} \vert a_{ij}\vert$ (3.14)

Queste matrici sono importanti in quanto vale il seguente

Teorema 3.2   Se $ A$ è una matrice a diagonale dominante in senso forte, allora $ A$ è non singolare.

Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che $ A$ sia una matrice singolare. Allora, $ \exists x\in\mathbb{R}^n, x\neq 0,\quad t.c.\quad
Ax=0$. Sia ora $ x_i$ la componente di massimo modulo, cioè $ \vert x_i\vert\geq \vert x_j\vert, \forall j\neq i$. Quindi $ x_i\neq 0$.

$\displaystyle \sum_{j=1}^na_{ij}x_j=0\rightarrow a_{ii}x_i+\sum_{j=1, \neq
i}^na_{ij}x_j=0 $

Adesso dividiamo tutto quanto per $ x_i$:

$\displaystyle a_{ii}=-\sum_{j=1, \neq i}^na_{ij}\frac{x_j}{x_i}$

Quindi,

$\displaystyle \vert a_{ii}\vert=\left \vert \sum_{j\neq i}^na_{ij}\frac{x_j}{x_...
...ert\left \vert\frac{x_j}{x_i}\right\vert\leq \sum_{j\neq i}^n
\vert a_{ij}\vert$

in quanto $ x_i > x_j$ per ipotesi. Assurdo. .

Teorema 3.3   Sia $ A$ una matrice simmetrica definita positiva3.5 . Allora $ A$ è non singolare.

Dimostrazione: Banale. Va contro la definizione di sdp. Infatti, se si suppone che $ A$ sia singolare, $ \exists x\in \mathbb{R}^n, x\neq
0$ tale che $ Ax=0$. Quindi anche $ x^TAx+0$. Assurdo.

Cerchiamo ora una fattorizzazione più semplice per le matrici sdp.


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Massimiliano Masi 2003-09-30